Resolução questão 48 - Livro Fundamentos de Gelson Iezzi vol. 1

Sejam A, B dois conjuntos tais que estes possuam alguns elementos em comum. O conjunto que representa esses elementos é chamado de intercessão (A∩B): 

A união do conjunto A ao conjunto B (AUB) é o conjunto que contém os elementos tanto de A quanto de B. Mas, não existe repetição de um elemento em conjuntos, ou seja, os elementos que os dois conjuntos tem em comum, são representados apenas uma vez. Consideraremos n(A), n(B) e n(A∩B) os número de elementos. 


Agora, a prova será feita de uma forma interessante: 

Seja D um conjunto tal que X = A - C, onde C é um conjunto tal que C = A∩B. As propriedades desse conjunto são: 

X ⊆ A 
n(X) = n(A) - n(C) 


Pelo fato de X não ter nenhum elemento em comum com B, n(XUB) = n(X) + n(B). 


Contudo temos que observar: 

* Como X ⊆ A, é claro que XUB ⊆ AUB 
* Mas podemos encontrar cada elemento de AUB dentro de XUB, pois nenhum elemento particular de cada conjunto foi retirado de A, ou seja AUB ⊆ XUB. 


Essas duas premissas nos mostram que AUB = XUB, e, por serem conjuntos finitos n(AUB) = n(XUB). Logo: 

n(AUB) = n(X) + n(B) 

n(AUB) = n(A) + n(B) - n(C) 

n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)